Пусть один катет треугольника равен x см, тогда второй катет будет x + 5 см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
S = $x\ast (x+5)$/2 = 42

Раскроем скобки и упростим уравнение:
x^2 + 5x = 84
x^2 + 5x - 84 = 0

Теперь решим это уравнение как квадратное уравнение. Мы находим два таких числа, сумма которых равна 5 $коэффициентпередx$, а произведение равно -84 $свободныйчлен$:
$x+12$$x-7$ = 0

Отсюда получаем два возможных значения для x: x = -12 или x = 7.
Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 7 см и x + 5 = 12 см.

Таким образом, длина катетов равна 7 см и 12 см.