Для доказательства параллельности плоскостей ВВ1Е и ДД1О, построим вспомогательные прямые и плоскости. Обозначим через М точку пересечения отрезков ВВ1 и ДД1.

Поскольку точка О - середина В1С1, то отрезок В1О равен отрезку ОС1, и он делится пополам точкой О.

Точка М - середина отрезка ВВ1, следовательно, отрезок ВМ равен отрезку МВ1.

Точка Е - середина отрезка АД, а точка О - середина В1С1.
Поскольку точка М - середина ВВ1, а О - середина В1С1, прямая МО является медианой треугольника ВВ1С1, а также прямой, проходящей через точку Е.

Таким образом, прямые МО и ЕМ содержатся в плоскости В1ВС1. А, поскольку точка М - середина отрезка ДД1, а точка О - середина отрезка С1В1, прямая МО является медианой треугольника ДД1С1, а также прямой, проходящей через точку О.

Следовательно, прямые МО и ОМ содержатся в плоскости Д1ДС1, и прямые МО и ЕМ содержатся в плоскости В1ВС1.

Так как плоскости В1ВС1 и Д1ДС1 параллельны основанию АВСД, то прямые МО и ЕМ параллельны прямым МО и ОМ.

Следовательно, плоскости ВВ1Е и ДД1О параллельны.