1) Обозначим вектор АD1 как а и вектор BM как b. Точка M делит ребро DD1 в отношении 4:1, значит вектор BM = 4/5 вектор MD + 1/5 вектор DD1. Так как вектор D1D перпендикулярен вектору AD1, то вектор MD1 = - вектор AD1. Тогда вектор BM = 4/5 $-векторAD1$ + 1/5 $-векторAD1$ = -5/5 * вектор AD1 = -вектор AD1. Таким образом, вектор BM = -вектор AD1.

Поскольку угол между векторами определяется как cos$\theta$ = $a<em>b$ / $|а|</em>|b|$, где a * b - скалярное произведение векторов, то для нахождения угла между векторами АD1 и BM нам нужно найти скалярное произведение векторов и их длины.

|а| = |AD1| = √$5^2+5^2$ = √50
|b| = |BM| = √$5^2+5^2$ = √50

a b = |а| |b| cos$\theta$ = √50 √50 cos$\theta$ = 50 cos$\theta$

Так как вектор BM = -вектор AD1, то cos$\theta$ = -1, следовательно cos$\theta$ = -50 и θ = arccos$-1$ = 180 градусов.

Ответ: угол между векторами АD1 и BM равен 180 градусов.

2) Сечение плоскостью $АМС$ будет параллелограммом, образованным векторами AM и AS, где S - середина ребра А1С1.

Длина вектора AM = √$5^2+10^2$ = √125
Длина вектора AS = √$(5/2{)}^2+5^2$ = √$25/4+25$ = √$(25+100)/4$ = √$125/4$ = √31.25

Площадь параллелограмма, образованного векторами AM и AS, равна произведению длин векторов: S = |AM| |AS| sin$\phi$, где φ - угол между векторами AM и AS.

sin$\phi$ = $AM<em>AS$ / $|AM|</em>|AS|$ sin$\phi$ = $5<em>10$ / $\surd 125</em>\surd 31.25$ = 50 / $5\surd 5<em>5\surd 5$ = 50 / 25 5 = 2

Таким образом, площадь сечения плоскостью $АМС$ равна S = √125 √31.25 2 = 5√125 5√31.25 2 = 25 5 2 = 250

Ответ: площадь сечения плоскостью $АМС$ равна 250 единиц^2.