Для доказательства тождества A×(B∩C) = (A×C)(A×(C\B) будем использовать законы дистрибутивности и свойства пересечения и разности множеств.

A×(B∩C) = A×B ∩ A×C (по закону дистрибутивности умножения относительно пересечения)

(A×C)(A×(C\B)) = A×C \ (A×C\A×B) (по свойству разности множеств)

(A×C)(A×(C\B)) = A×C \ (A×C ∩ B) (по закону дистрибутивности умножения относительно разности)

(A×C)(A×(C\B)) = A×C \ (A×C ∩ B) = (A×C \ A×C) ∪ (A×C \ B) (по свойству разности множеств)

(A×C)(A×(C\B)) = (A×C \ A×C) ∪ (A×C \ B) = Ф ∪ (A×C \ B) = A×C \ B

Таким образом, мы доказали, что A×(B∩C) = (A×C)(A×(C\B)