Дано уравнение: sin^2(x) + sin(8x) = cos(3x)

На отрезке [0;π/2] у нас имеется один период функций sin и cos, поэтому рассмотрим поведение каждой функции на этом отрезке.

sin^2(x):
Минимальное значение sin^2(x) = 0 при x = 0, π, 2π, ...
Максимальное значение sin^2(x) = 1 при x = π/2, 3π/2, 5π/2, ...

sin(8x):
Минимальное значение sin(8x) = -1 при x = π/16, 17π/16, ...
Максимальное значение sin(8x) = 1 при x = 9π/16, 25π/16, ...

cos(3x):
Минимальное значение cos(3x) = -1 при x = 7π/6, 11π/6, ...
Максимальное значение cos(3x) = 1 при x = π/6, 5π/6, ...

Теперь заметим, что sin^2(x) и sin(8x) всегда находятся в диапазоне [0;1], а cos(3x) находится в диапазоне [-1;1]. Таким образом, при суммировании sin^2(x) и sin(8x) они не смогут дать значение, соответствующее cos(3x), на отрезке [0;π/2].

Итак, уравнение sin^2(x) + sin(8x) = cos(3x) не имеет решений на отрезке [0;π/2].