Пример. Пусть для $x\in [0,1]$ $$f_n(x)=\frac{x-\frac{1}{n}}{n}.$$ Каждая $f_n$ непрерывна на $[0,1]$ и
∥fn−0∥∞=sup⁡x∈[0,1]∣x−1nn∣≤1n→0, \|f_n-0\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}\left|\frac{x-\tfrac{1}{n}}{n}\right|\le\frac{1}{n}\to0,
∥fn −0∥∞ =x∈[0,1]sup nx−n1 ≤n1 →0, поэтому $f_n$ равномерно сходится к функции $f\equiv 0$.
Нули: для каждого $n$ множество нулей равно $\{1/n\}$, их единственная предельная точка — $0$. Множество нулей предельной функции $f$ равно всему отрезку $[0,1]$. Следовательно, множества нулей $f_n$ не «сходятся» к множеству нулей $f$ (например, в смысле равенства или в смысле Хаусдорфа).
Как это соотносится с равномерной сходимостью. Равномерная сходимость гарантирует, что при $f(x_0)\ne 0$ для всех достаточно больших $n$ значение $f_n(x_0)$ сохраняет знак (и, следовательно, в окрестности точки с $f\ne 0$ нули $f_n$ отсутствуют). Действительно, если $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\to 0$ и $f(x_0)\ne 0$, то для больших $n$ имеем $|f_n(x_0)|\ge |f(x_0)|-\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }>0$.
Однако равномерная сходимость не контролирует поведение $f_n$ в точках, где $f=0$: нули $f_n$ при этом могут появляться, исчезать или «перемещаться» произвольно внутри множества нулей предела. При этом верен полезный факт: если $x_n\in [0,1]$, $f_n(x_n)=0$ и $x_n\to x$, то
$$|f(x_n)|\le \Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }+|f_n(x_n)|=\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\to 0,$$ а так как $f$ непрерывна, то $f(x)=0$. То есть любые предельные точки последовательности нулей обязаны принадлежать множеству нулей предела, но само множество нулей предела может быть существенно больше.