Дано последовательность $a_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$. Утверждение: при возрастании $n$ последовательность монотонно возрастает, ограничена сверху и сходится к числу $e$. Доказательства и методы:
1) Ограниченность сверху:
$$\ln a_n=n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<n\cdot \frac{1}{n}=1,$$ так как $\ln (1+t)<t$ при $t>-1$. Следовательно $a_n<e$.
2) Монотонность (через производную непрерывного продолжения):
Рассмотрим функцию $f(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ для $x>0$. Тогда
$$\ln f(x)=x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right).$$ Её производная равна, положим $y=\frac{1}{x}>0$,
$$\frac{d}{dx}\ln f(x)=\ln (1+y)-\frac{y}{1+y}.$$ Функция $g(y)=\ln (1+y)-\frac{y}{1+y}$ имеет производную $g^{\prime }(y)=\frac{y}{(1+y{)}^2}>0$, следовательно $g(y)>g(0)=0$. Значит $\frac{d}{dx}\ln f(x)>0$, т.е. $f$ возрастает, и в частности последовательность $a_n=f(n)$ возрастает.
(Альтернативно: можно сравнивать $a_{n+1}/a_n$ или использовать бином Ньютона для явного сравнения членов.)
3) Предел (сходимость к $e$):
Нижняя и верхняя оценки для $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$:
$$\frac{1}{n+1}<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n}.$$ Умножая на $n$, получаем
$$\frac{n}{n+1}<n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)<1,$$ откуда по теореме о зажимаемых пределов
$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=1.$$ Экспоненцируя,
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{n\ln (1+1/n)}=e.$$
Кратко о методах, которые демонстрируют сходимость к $e$:
- неравенства для логарифма ($\ln (1+t)$ между $\frac{t}{1+t}$ и $t$) и сжатие (использовано выше);
- исследование монотонности непрерывного продолжения $f(x)$ через производную;
- биномиальная (комбинаторная) оценка и построение пар последовательностей $a_n=(1+1/n{)}^n$ (возрастающая) и $b_n=(1+1/n{)}^{n+1}$ (убывающая), которые «зажимают» $e$.