Ответ: при выборе игрока 1 шаблона $A=HT$ и игрока 2 шаблона $B=TH$ шансы равны: оба выигрывают с вероятностью $1/2$.
Краткий вывод через состояния (учитываем только последний бросок, т.к. шаблоны длины 2). Обозначим $p_H$ — вероятность победы $A$ при том, что последний бросок был $H$, $p_T$ — при последнем $T$, $p_0$ — в начале. Переходы:
- Если последний был $H$, то с вероятностью $1/2$ выпадает $T$ и сразу появляется $HT$ (победа $A$), иначе выпадает $H$ и состояние остаётся $H$. Поэтому
$$p_H=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot p_H.$$ Отсюда $p_H=1$.
- Если последний был $T$, то с вероятностью $1/2$ выпадет $H$ и появится $TH$ (победа $B$), иначе остаёмся в $T$. Значит
$$p_T=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot p_T,$$ и $p_T=0$.
- В начале первый бросок $H$ или $T$ с равной вероятностью, значит
$$p_0=\frac{1}{2}{p}_H+\frac{1}{2}{p}_T=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 0=\frac{1}{2}.$$
Почему второй игрок может получить преимущество в других случаях: дело в «перекрытиях» шаблонов. Если шаблон второго построен так, что при одном символе предварительного состояния он немедленно приводит к своей победе, а шаблон первого в том же состоянии — нет, то второй имеет значительное преимущество. Пример: если первый выбирает $HH$, а второй — $TH$, то по аналогичным уравнениям вероятность победы первого равна $1/4$, второго — $3/4$. Это и есть суть игры Пенни — второй игрок, увидев выбор первого, может подобрать шаблон с выгодной структурой перекрытий.