Доказательство теоремы скалярного произведения векторов:

Пусть u = (x1, y1, z1) и v = (x2, y2, z2) - два вектора в трехмерном пространстве.

Скалярное произведение векторов u и v определяется следующим образом:
u v = x1x2 + y1y2 + z1z2

Докажем, что это действительно удовлетворяет свойствам скалярного произведения:

Коммутативность: u v = x1x2 + y1y2 + z1z2 = x2x1 + y2y1 + z2z1 = v u

Ассоциативность со скалярным умножением: (au) v = (ax1)x2 + (ay1)y2 + (az1)z2 = a(x1x2 + y1y2 + z1z2) = a(u v)

Дистрибутивность относительно сложения векторов: u (v + w) = x1(x2 + x3) + y1(y2 + y3) + z1(z2 + z3) = x1x2 + y1y2 + z1z2 + x1x3 + y1y3 + z1z3 = u v + u w

Скалярное произведение вектора на себя: u u = x1x1 + y1y1 + z1z1 = |u|^2, где |u| - длина вектора u.

Таким образом, мы доказали теорему скалярного произведения векторов и его четыре основных свойства.