а) Для начала найдем уравнения высот треугольника ABC.

Высота, проведенная из вершины A, будет перпендикулярна стороне BC и проходить через точку A. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и C:
Уравнение прямой, проходящей через точки B(0;2) и C(4;-2):
k = (2 - (-2))/(0 - 4) = 1
Уравнение прямой: y = x + 2

Теперь найдем уравнение высоты, проведенной из вершины A_perp:
Уравнение перпендикулярной прямой: y = -x + c
Точка A(1;-1) лежит на прямой: -1 = -1 + c => c = 0
Уравнение высоты: y = -x

Аналогично найдем уравнения оставшихся двух высот:
Высота из B(0;2): x = 0
Высота из C(4;-2):
Уравнение прямой, проходящей через точки A и B:
k = (3 - (-1))/(1 - (-1)) = 2
b = 3 - 2*1 = 1
Уравнение прямой: y = 2x + 1

Уравнение высоты, проведенной из C_perp:
Уравнение перпендикулярной прямой: y = -2x + d
Точка C(4;-2) лежит на прямой: -2 = -2*4 + d => d = 6
Уравнение высоты: y = -2x + 6

Теперь найдем точку пересечения высот. Для этого найдем точку пересечения каждой пары высот:

y = -x и x = 0
x = 0, y = 0y = -x и y = 2x + 1
-x = 2x + 1
3x = -1
x = -1/3, y = 1/3x = 0 и y = 2x + 1
x = 0, y = 1

Итак, точка пересечения высот T(-1/3;1/3).

б) Для определения вида треугольника с вершинами A(1;3);B(-1;-3);C(5;-1), будем исследовать длины сторон и углы.

Найдем длины сторон:
AB = sqrt((1 + 1)^2 + (3 + 3)^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2sqrt(10)
BC = sqrt((-1 - 5)^2 + (-3 + 1)^2) = sqrt(36 + 4) = sqrt(40) = 2sqrt(10)
AC = sqrt((1 - 5)^2 + (3 + 1)^2) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4*sqrt(2)

Найдем квадраты длин сторон:
a^2 = 40, b^2 = 40, c^2 = 32

Проверим условие существования треугольника:
Сумма двух сторон всегда должна быть больше третьей: a + b > c, a + c > b, b + c > a
2sqrt(10) + 2sqrt(10) > 4sqrt(2) => 4sqrt(10) > 4sqrt(2) - выполняется
2sqrt(10) + 4sqrt(2) > 2sqrt(10) - выполняется
2sqrt(10) + 4sqrt(10) > 2*sqrt(10) - выполняется

Треугольник существует.

Теперь найдем углы треугольника и определим его вид:
Угол A = acos((b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)) = acos((40 + 32 - 40)/(22sqrt(10)4sqrt(2))) = acos(0) = 90 градусов
Угол B = acos((a^2 + c^2 - b^2)/(2ac)) = acos((40 + 32 - 40)/(22sqrt(10)4sqrt(2))) = acos(0) = 90 градусов
Угол C = acos((a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)) = acos((40 + 40 - 32)/(2sqrt(10)2*sqrt(10))) = acos(1) = 0 градусов

Таким образом, данный треугольник ABC является прямоугольным.