Дано, что tg a - ctg a = -1/2

Возводим данное равенство в квадрат:
(tg a - ctg a)^2 = (-1/2)^2
(tg^2 a - 2tg a*ctg a + ctg^2 a) = 1/4

Подставляем в выражение tg^2 a + ctg^2 a:
1/4 + 2tg actg a = 1/4
2tg actg a = 0

Поскольку умножение двух величин равно нулю, то или tg a = 0 или ctg a = 0.

Итак, tg^2 a + ctg^2 a = 0 + 1 = 1.