Для обоснования формулы для синуса и косинуса суммы двух углов воспользуемся следующими исходными формулами:

Синус суммы двух углов:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Косинус суммы двух углов:
cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Теперь представим углы A и B в виде суммы двух других углов: A = x + y, B = z + t. Подставим эти выражения в формулы для синуса и косинуса суммы двух углов:

sin((x + y) + (z + t)) = sin(x + y)cos(z + t) + cos(x + y)sin(z + t)
cos((x + y) + (z + t)) = cos(x + y)cos(z + t) - sin(x + y)sin(z + t)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

sin(x + y + z + t) = sin(x + y)cos(z + t) + cos(x + y)sin(z + t)
cos(x + y + z + t) = cos(x + y)cos(z + t) - sin(x + y)sin(z + t)

Это и есть формулы для синуса и косинуса суммы четырех углов. Таким образом, полученная формула объясняется с использованием формул для синуса и косинуса двух углов.