Для начала определим, что такое египетский треугольник. Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник, у которого длины катетов и гипотенузы являются целыми числами.

Пусть ABC - египетский треугольник, в который вписана окружность с центром O. Тогда мы можем доказать, что центр окружности равноудален от двух его сторон следующим образом:

Отрезок AO - радиус окружности, проведенный к стороне AC треугольника. Тогда по теореме о касательных радиус, проведенный касательно к точке касания, образует прямой угол с касательной. Таким образом, угол BAC прямой.

Точка O - центр окружности, проведем к ней линии OD и OE, где D и E - точки касания окружности с сторонами AB и BC соответственно.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то угол AOB = 90°, то есть треугольник AOD прямоугольный.

Также угол AOE = 90°, поскольку EO и AO - радиусы окружности.

Из пунктов 3 и 4 следует, что треугольники AOD и AOE равны по двум углам и стороне между ними, значит они равны между собой.

Таким образом, центр окружности, вписанной в египетский треугольник, равноудален от его сторон AC и AB.