Для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке (0;4), нужно найти экстремумы функции в этом интервале.

Сначала найдем производную функции у'=4е^(2x) - 8е^x. Далее приравняем производную к нулю: 4е^(2x) - 8е^(x) = 0.

Вынесем общий множитель 4e^x: 4e^x(e^x - 2) = 0.

Таким образом, получаем два возможных значения х: x1 = 0 и x2 = ln(2).

Теперь проверим, в какой точке значение функции минимально. Для этого найдем значение функции в точках x1 и x2.

При x = 0: y(0) = 2е^(2*0) - 8е^0 + 9 = 2 - 8 + 9 = 3.

При x = ln(2): y(ln(2)) = 2е^(2ln(2)) - 8е^(ln(2)) + 9 = 22^2 - 8*2 + 9 = 8 - 16 + 9 = 1.

Таким образом, наименьшее значение функции y на отрезке (0;4) равно 1.