Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке (0;4) необходимо найти её производную и найти её нули в этом интервале. Затем из найденных значений производной выбрать наименьшее.

y' = 2е^(2x) - 8е^x

Найдем нули производной:

2е^(2x) - 8е^x = 0

2е^x(е^x - 4) = 0

Из этого уравнения видно, что е^x = 0 не имеет смысла. Поэтому рассмотрим второй случай:

е^x - 4 = 0

е^x = 4

x = ln(4)

На отрезке (0;4) это значение функции является точкой минимума, так как на краях отрезка функция стремится к бесконечности.

Подставим x = ln(4) в исходную функцию:

y = е^(2ln(4)) - 8е^(ln(4)) + 9
y = 16 - 32 + 9
y = -7

Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке (0;4) составляет -7.