Для нахождения объема конуса нужно знать его высоту. В данном случае, нам дана образующая конуса $l=2\surd 2$ и угол между образующей и плоскостью основания $\alpha =45градусов$.

Так как известна длина образующей и угол между образующей и плоскостью основания, то можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты конуса.

cos$\alpha$ = h / l
cos$45°$ = h / 2√2
h = 2

Теперь можем найти объем конуса по формуле:
V = $1/3$ π r^2 * h

где r - радиус основания конуса, а h - высота.

Так как у нас не дан радиус основания, но дана образующая конуса, а также известно, что образующая равна корню из суммы квадратов радиуса основания и высоты $l=\surd (r^2+h^2)$, можем найти радиус основания:

2√2 = √$r^2+2^2$ 8 = r^2 + 4
r^2 = 4
r = 2

Теперь можем подставить известные значения радиуса и высоты в формулу для объема конуса:

V = $1/3$ π $2$^2 * 2 = 8π

Ответ: объем конуса равен 8π.