Для начала определим формулу для вычисления члена арифметической прогрессии:

aₙ = a₁ + (n - 1)d,

где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена в прогрессии.

Из условия задачи дано:

a₃ + a₅ = –2 и a₇ + a₁₀ = 4.

Подставим формулу в первое уравнение:

a₁ + 2d + a₁ + 4d = -2,
2a₁ + 6d = -2,
a₁ + 3d = -1. (1)

Подставим формулу во второе уравнение:

a₁ + 6d + a₁ + 9d = 4,
2a₁ + 15d = 4,
a₁ + 7.5d = 2. (2)

Умножим уравнение (1) на 2:

2a₁ + 6d = -2,
2a₁ + 15d = 4.

Вычтем уравнения друг из друга:

(2a₁ + 15d) - (2a₁ + 6d) = 4 - (-2),
9d = 6,
d = 6/9 = 2/3.

Подставим найденное значение разности в уравнение (1):

a₁ + 3 * 2/3 = -1,
a₁ + 2 = -1,
a₁ = -3.

Таким образом, первый член арифметической прогрессии равен -3.