Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 на промежутке [1; 4] необходимо найти значения функции при х = 1, х = 4 и значения функции в точках, где производная равна нулю.

Подставим x = 1:
f(1) = 1^3 - 3*1^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2.

Подставим x = 4:
f(4) = 4^3 - 3*4^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20.

Найдем значения функции в точках, где производная равна нулю:
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).

Точки, где f'(x) = 0: x1 = 0, x2 = 2.

Подставим x = 0:
f(0) = 0^3 - 3*0^2 + 4 = 4.

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [1; 4] f(x) = 2 при x = 1, а наибольшее значение f(x) = 20 при x = 4.