Докажем это используя метод математической индукции.

База индукции: при n=1, выражение принимает вид 2^(2*1-1) + 1 = 2^1 + 1 = 2 + 1 = 3, что делится на 3.

Предположение индукции: пусть утверждение верно для некоторого n=k, т.е. 2^(2k-1) + 1 делится на 3.

Шаг индукции: докажем, что утверждение верно и для n=k+1.

Рассмотрим выражение при n=k+1: 2^(2(k+1)-1) + 1 = 2^(2k+2-1) + 1 = 2^(2k+1) + 1 = (2^2k 2) + 1 = (4^k 2) + 1.

Так как 4 = 3 + 1, то можно переписать данное выражение следующим образом: ((3+1)^k 2) + 1 = (3^k 2 + 1^k 2) + 1 = (3^k 2) + (2+1) = 3m + 3, где m = 3^k.

Полученное выражение является кратным числу 3, следовательно 2^(2(k+1)-1) + 1 делится на 3.

Таким образом, утверждение доказано для всех натуральных n по принципу математической индукции.