Для начала заметим, что $4^x=\left(2^x\right)^2$. Тогда мы можем переписать уравнение $4^x+4^{-x}=27$ следующим образом:

$$\left(2^x\right)^2 + \frac{1}{\left(2^x\right)^2} = 27.$$

Пусть $y=2^x$. Тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 + \frac{1}{y^2} = 27$$

Умножим обе части уравнения на $y^2$:

$$y^4 + 1 = 27y^2$$

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения относительно $y^2$:

$$y^4 - 27y^2 +1 = 0$$

Решим данное уравнение с помощью дискриминанта:

$\Delta = (-27)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 729 - 4 = 725$

$y_1 = \frac{27 + \sqrt{725}}{2} \approx 14.103$

$y_2 = \frac{27 - \sqrt{725}}{2} \approx -13.103$

Так как $y=2^x$, то $x=\log_2 y$.

Таким образом, получаем два возможных значения $x$:

$x_1 \approx \log_2 14.103 \approx 3.82$

$x_2 \approx \log_2 (-13.103)$ - неверное значение, так как логарифм от отрицательного числа не определен.

Итак, имеем $x_1 \approx 3.82$.

Теперь вычислим $2^x - 2^{-x}$:

$$2^x - 2^{-x} = 2^{3.82} - 2^{-3.82} \approx 14.103 - 0.118 \approx 13.98$$

Итак, $2^x - 2^{-x} \approx 13.98$.