Составить функцию Грина для краевой задачи y''=e^(-x), y'(0) = 0, y(Pi) = 0
Составить функцию Грина для краевой задачи y''=e^(-x), y'(0) = 0, y(Pi) = 0
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для составления функции Грина для данной краевой задачи необходимо решить уравнение:
LGGG = -G''xxx = δx−ξx - ξx−ξ,
где δx−ξx - ξx−ξ - дельта-функция Дирака.
Исходное уравнение можно представить в виде:
-G''xxx = δx−ξx - ξx−ξ.
Общее решение двукратного дифференциального уравнения будет иметь вид:
Gx,ξx, ξx,ξ = C1ξξξ + C2ξξξx + (x−ξ)/2(x - ξ) / 2(x−ξ)/2uξξξ,
где C1ξξξ, C2ξξξ - произвольные функции от ξ, uξξξ - функция, удовлетворяющая краевым условиям.
Для начала найдем частное решение для уравнения LGGG = δx−ξx - ξx−ξ. Функция uξξξ будет удовлетворять условиям:
u000 = 0, uπππ = 0.
Интегрируем уравнение LGGG = δx−ξx - ξx−ξ дважды. Получим:
Gx,ξx, ξx,ξ = -|x - ξ| + ξ−πξ - πξ−πHeavisidex−ξx - ξx−ξ + π−xπ - xπ−xHeavisideξ−xξ - xξ−x,
где Heavisidexxx - функция Хэвисайда.
Таким образом, функция Грина для данной краевой задачи будет иметь вид:
Gx,ξx, ξx,ξ = -|x - ξ| + ξ−πξ - πξ−πHeavisidex−ξx - ξx−ξ + π−xπ - xπ−xHeavisideξ−xξ - xξ−x.