Как же решить уравнение в натуральных числах? 4xy - x - y = z^2. Эту задачу придумал Леонард Эйлер.
Как же решить уравнение в натуральных числах? 4xy - x - y = z^2. Эту задачу придумал Леонард Эйлер.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для решения уравнения 4xy - x - y = z^2 в натуральных числах можно воспользоваться методом бесконечных спусков.
Давайте заметим, что уравнение можно переписать в виде 4x−14x-14x−14y−14y-14y−1 = 4z^2 + 1.
Теперь приступим к поиску натуральных решений данного уравнения. Начнем с натурального числа z = 1.
Подставим z = 1, тогда у нас получится 4x−14x-14x−14y−14y-14y−1 = 5. Нам нужно разложить число 5 на два множителя, которые на 1 больше кратных 4. Таких комбинаций нет, следовательно, при z = 1 натуральных решений нет.
Пусть теперь z = 2. Тогда у нас получится 4x−14x-14x−14y−14y-14y−1 = 17. Разложим число 17 на множители: 17 = 1 17 = 17 1, где 1 и 17 отличаются на 1 кратностьчетырехкратность четырехкратностьчетырех. Значит, у нас есть решение при z = 2: x,yx, yx,y = 2,22, 22,2.
Мы можем продолжать аналогично для всех натуральных чисел z и искать подходящие значения x и y.