1) Уравнение 4x + 6y + y'$3y-x$ = 0 можно решить, представив его в виде уравнения с разделяющимися переменными:
6y + y'$3y-x$ = -4x
6y + 3yy' - xy' = -4x
3y$y^{\prime }+2$ = x*$-4x$ y$y^{\prime }+2$ = -4x^2

2) Уравнение xy' = y*ln$x/y$ записывается как y'/y = ln$x/y$/x и решается методом разделения переменных:

∫$1/y$dy = ∫$ln(x/y)/x$dx
ln|y| = -ln$y$ + C
|y| = e^$-ln(y)+C$ = e^C/e^ln$y$ = Ce^$-ln(y)$ = C/y

3) Уравнение x^2 dy + $y-1$ dx = 0 можно преобразовать к форме уравнения с разделяющимися переменными:

dy/dx = $1-y$/$x^2$ dy/$1-y$ = dx/x^2
-integral$dy/(1-y)$ = integral$dx/x^2$ -ln|1 - y| = -1/x + C
|1 - y| = e^$-1/x+C$ = e^C / e^$1/x$ = Ce^$-1/x$ 1 - y = Ce^$-1/x$ y = 1 - Ce^$-1/x$

4) Уравнение $y^{\prime }$^2 + 2yy'' = 0 можно решить с помощью метода интегрирования по частям.

Пусть y' = p, тогда y'' = p'
$p$^2 + 2yp' = 0
p$dp/dy$ + 2yp' = 0
pdp + 2ydp = 0
integral$pdp$ + integral$2ydp$ = 0
$p^2$/2 + y^2 = C
$p^2$/2 + y^2 = C
$y^{\prime }$^2/2 + y^2 = C

Частное решение уравнения y'' - 4y' = 8x^3, y$0$ = 2, y'$0$ = -3, можно найти используя метод вариации постоянной. Решение этого уравнения будет представлено в виде суммы частного решения y_p и общего решения однородного уравнения y_h.