Пусть AB = a, BC = b, AD = h. Также пусть угол между гранями A A1B1B и BB1C1C равен α.

Сечениями параллелепипеда плоскостями, параллельными скрещивающимся диагоналям AB1 и BC1 будут прямоугольники. Пусть одна сторона прямоугольника параллельна грани A A1B1B и равна x, а другая сторона параллельна грани BB1C1C и равна y.

Площадь такого прямоугольника будет равна S = x * y.

Применим правило подобия прямоугольников:

x / a = y / b = h / AC,

где AC - диагональ параллелепипеда.

Отсюда выразим x, y через a, b, h:

x = a h / AC,
y = b h / AC.

Теперь можем найти площадь прямоугольника:

S = a h b h / AC^2 = a b * h^2 / AC.

Заметим, что AC - гипотенуза прямоугольного треугольника ABC, прилегающая к стороне AD. Таким образом, максимальной площадью будет обладать сечение, параллельное стороне AD и проходящее через прямую AB1 и точку пересечения граней A A1B1B и BB1C1C.