Доказательство:

Поскольку PQ || AC, то по теореме о параллельных и пересекающихся прямых углы BQС и АСР равны.

Так как М - точка пересечения медианы СМ и стороны АВ, то по теореме о медиане треугольника AM = MB.

Поскольку QB = 2PM и AM = MB, то также BQ = 2PM. Пусть PM = a, BQ = 2а.

Так как MR || BC, то по теореме о параллельных и пересекающихся прямых углы RMC и RCB равны.

Также, поскольку R - точка пересечения CP и MQ, то по теореме о медиане треугольника RС = СР.

Так как СM - медиана, то AM = MC.

Поскольку MR || BC, то треугольники RMC и RCB подобны по двум углам.

Из подобия следует, что MC/RC = RC/BC, или MC*BC = RC^2.

Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике PRC следует, что PR^2 = MC^2 + PC^2 = RC^2 + PC^2.

Таким образом, RC^2 = a^2 + PC^2.

Из этого следует, что a^2 = RC^2 - PC^2.

Так как PM = a, то PM^2 = a^2 = RC^2 - PC^2.

Из этого следует, что PM^2 = RC^2 - PC^2 = QM^2 - QC^2.

По теореме о косинусах в треугольнике QCM:

cos∠QCM = (QM^2 + CM^2 - QC^2) / (2 QM CM).

По теореме о медиане AM = CM, поэтому:

cos∠QCМ = (QM^2 + AM^2 - QC^2) / (2 QM AM).

Так как AM = CM и QM = 2AM, то cos∠QCM = (4AM^2 + AM^2 - QC^2) / (2 2AM AM) = (5AM^2 - QC^2) / (4AM^2) = 5/4 - QC^2 / 4AM^2.

Но с другой стороны по теореме косинусов в треугольнике BQC:

cos∠QCB = (BC^2 + BQ^2 - QC^2) / (2 BC BQ).

Так как BQ = 2AM и BC = 2MC (по соответственным сторонам подобных треугольников), то

cos∠QCB = (4MC^2 + 4AM^2 - QC^2) / (2 2MC 4AM) = (4MC^2 - QC^2) / (4MC 4AM) = MC/2AM - QC^2 / 4MC 4AM.

Из сравнения двух выражений для косинусов боковых углов треугольника BCQ получаем:

MC/2AM - QC^2 / 4MC * 4AM = 5/4 - QC^2 / 4AM^2.

Сокращая на 1/2, получаем:

MC/AM - 2 QC^2 / 4MC 2AM = 5/4 - QC^2 / 4AM.

Преобразуем это равенство:

MC/AM - QC^2 / MC * AM = 5/4 - QC^2 / 4AM,

или

MC/AM + QC^2 / 4AM = 5/4.

Следовательно, CM + QC / 4 * AM = 5/4.

Так как AM = MC, то

2CM + QC = 5/4 * AM,

или

QC = 5/4 * AM - 2CM.

Докажем теперь, что ∠QBR = ∠ABR.

Рассмотрим треугольники QBR и ARB.

Покажем, что они равнобедренные.

Согласно условию, ∠QBC = ∠QСВ,

∠BCQ = ∠BQL (так как PQ || AC),

∠QBС = ∠BQL (так как MQ || BC),

так что треугольник QBC подобен треугольнику LQB.

Поскольку ∠QBL = ∠QBC, ∠BLQ = ∠QBC, треугольники LQB и QBМ равнобедренные, то есть BQ = BL.

Так как MQ || BC, ∠QBM = ∠ВСМ и ∠BМQ = ∠SMС, откуда следует, что треугольники QВМ и СМС подобны.

Поэтому BM / MQ = CM / SM = ВС / SM, откуда BM = ВС, и треугольник АВМ равнобедренный.

Таким образом, АМ = BM.

Во-первых, AR = CP (так как MQ || BC), и ∠BRA = ∠CPA (так как PQ || AC),

во-вторых, так как ∠AМR = ∠RAM, ∠BRP = ∠CPA = ∠BRA.

Отсюда следует, что треугольники ARB и RPB подобны.

Поскольку AM = BM, ∠BMR = ∠BAR,

∠BMR = ∠BRQ, ∠ВАR = ∠PQB (доказывается также с помощью параллельных).

Значит, ∠QBR = ∠RBR.