Для начала найдем катеты прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому:

(S = \frac{1}{2} \times a \times b = 2\sqrt{5})

где a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Теперь найдем гипотенузу треугольника, воспользовавшись теоремой косинусов:

(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\alpha})

где c - гипотенуза, альфа - угол между катетами.

Из условия задачи известно, что угол между высотой и медианой равен (arcsin(1/9)), поэтому этот угол равен также альфа, то есть (\alpha = arcsin(1/9)).

Имеем:

(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos (arcsin(1/9)))

(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \sqrt{1 - (\frac{1}{9})^2})

(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{\sqrt{80}}{9})

(c = \sqrt{a^2 + b^2 - \frac{2ab \cdot \sqrt{80}}{9}})

Теперь подставим изначальное условие задачи и найдем катеты:

(2\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times a \times b)

(a \times b = 2\sqrt{10})

Из системы уравнений (a + b = 2\sqrt{10}) и (a \times b = 2\sqrt{10}) найдем значения a и b:

(a = \sqrt{10 + \sqrt{10}})

(b = \sqrt{10 - \sqrt{10}})

Теперь подставим найденные значения a и b в формулу для катетов:

(c = \sqrt{(\sqrt{10 + \sqrt{10}})^2 + (\sqrt{10 - \sqrt{10}})^2 - \frac{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{80}}{9}})

(c = \sqrt{20 - \frac{16\sqrt{10}}{3}})

(c = \sqrt{\frac{60}{3} - \frac{16\sqrt{10}}{3}})

(c = \sqrt{\frac{60 - 16\sqrt{10}}{3}})

(c = \sqrt{\frac{4(15 - 4\sqrt{10})}{3}})

(c = \frac{2\sqrt{15 - 4\sqrt{10}}}{3})

Итак, гипотенуза данного треугольника равна (\frac{2\sqrt{15 - 4\sqrt{10}}}{3}).