Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, высотой боковой грани и половиной боковой грани:

Так как треугольная пирамида правильная, то у этого треугольника все стороны равны. Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник, в котором катеты равны 12 и 13, а гипотенуза (половина боковой грани) равна h.

Применим теорему Пифагора:
$h^2 = 12^2 + 13^2 = 144 + 169 = 313$
$h = \sqrt{313}$

Теперь найдем тангенс угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания:
$tg(\alpha) = \frac{12}{13}$
$tg(\alpha) = \frac{0.923}{12}$

Ответ: $tg(\alpha) = \frac{12}{13}$.