Обозначим количество двухместных палаток за $a$, количество трёхместных палаток за $b$, количество четырёхместных палаток за $c$.

У нас имеется система уравнений:

$a + b + c = 1010$,

$b = a + c$.

Подставляем второе уравнение в первое:

$a + (a + c) + c = 1010$,

$2a + 2c = 1010$,

$a + c = 505$.

Таким образом, у нас два уравнения с двумя неизвестными. Решаем эту систему уравнений:

$a + c = 505$,

$a + 2c = 505$.

$2c - c = 505 - a$,

$c = 505 - a$.

Так как $a + c = 505$, то:

$a + 505 - a = 505$,

$c = 505 - a$,

$a + b + 505 - a = 1010$,

$b + 505 = 1010$,

$b = 1010 - 505$,

$b = 505$.

Следовательно, было взято $505$ двухместных палаток, $505$ трёхместных палаток и $c$ четырёхместных палаток. Учитывая, что общее количество палаток равно $1010$, и все они были использованы, то $c = 1010 - 505 - 505 = 1010 - 1010 = 0$.

Итак, туристы взяли $0$ четырёхместных палаток.