Для того чтобы определить количество решений системы линейных уравнений по ее коэффициентам и свободным членам без вычисления определителей, можно воспользоваться методом Крамера.

Если определитель матрицы коэффициентов системы не равен нулю, то система имеет единственное решение.

Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, а определители дополнительных матриц (замена столбца свободных членов на столбец правой части) отличны от нуля, то система не имеет решений.

Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю и определители дополнительных матриц также равны нулю, то система имеет бесконечное количество решений.

Таким образом, по данным условиям можно определить количество решений системы без необходимости вычисления определителей.