Пусть стороны прямоугольника равны а и b. Тогда периметр равен 2*(a+b) = 136см, что равно a+b = 68см.

Так как прямоугольник состоит из 12 квадратов, то площадь прямоугольника равна сумме площадей всех квадратов. Площадь каждого квадрата равна a^2 + b^2.

Так как у нас 12 квадратов, то общая площадь прямоугольника равна 12*(a^2 + b^2).

Известно, что a+b=68. Тогда a = 68-b. Подставляем это значение в площадь: S = 12*((68-b)^2 + b^2).

S = 12*(4624 - 136b + b^2 + b^2).

S = 12(4624 + 2b^2 - 136b).
S = 122(2312 + b^2 - 68b).
S = 24(2312 + (b-34)^2 - 34^2).

Так как полный квадрат (b-34)^2 всегда больше или равен нуля, то площадь прямоугольника будет максимальна, когда (b-34)^2 = 0, т.е. b=34. Следовательно, а=34.

S = 24(2312 + (34-34)^2 - 34^2) = 242312 = 55488 см^2.

Ответ: Площадь прямоугольника равна 55488 см^2.