Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку M(2; –3) и середину отрезка AB, нужно сначала найти координаты середины отрезка AB. Середина отрезка AB будет иметь координаты ((2 – 4) / 2, (3 – 1) / 2) = (-1, 1). Теперь используем формулу уравнения прямой, проходящей через точку M и через точку (-1, 1):

y - y₁ = ((y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)) * (x - x₁)

где координаты точки M (x₁, y₁) = (2, -3), координаты середины отрезка AB (x₂, y₂) = (-1, 1). Подставляем значения:

y + 3 = ((1 + 3) / (-1 + 2)) (x - 2)
y + 3 = 4 (x - 2)
y + 3 = 4x - 8
4x - y - 11 = 0

Уравнение прямой, проходящей через точку M(2; –3) и середину отрезка AB, будет 4x - y - 11 = 0.

Длина высоты BD может быть найдена с использованием формулы расстояния между точкой и прямой. Сначала найдем уравнение прямой, содержащей отрезок AC (AB): y = 3x + 8. Затем найдем координаты точки D, пересечения высоты с прямой AC: x = -1, y = 3*(-1) + 8 = 5. Теперь находим длину высоты BD, используя формулу:

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

где уравнение прямой перпендикулярной AC:

y = -1/3x + b

Теперь найдем b подставив точку D(-1; 5):

5 = -1/3 * (-1) + b
5 = 1/3 + b
b = 14/3

Уравнение прямой BD: y = -1/3x + 14/3

Теперь найдем длину высоты:

d = |1(-1) + 15 + 8| / √(1² + 1²)
d = |3| / √2
d = 3 / √2
d = 3√2 / 2

Длина высоты BD равна 3√2 / 2.

Уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки F(1; 2) и от прямой x = 3, будет уравнением прямой, проходящей через точку F и перпендикулярной прямой x = 3. Так как прямая x = 3 вертикальная, уравнение перпендикулярной прямой будет y = 2 (горизонтальная прямая проходящая через точку F). Теперь найдем уравнение этой линии:

Точка F(1; 2), уравнение горизонтальной линии через F: y = 2

Теперь у нас есть уравнение и точка, соединим их:

y = 2

Эта горизонтальная линия будут все точки, равноудаленные от F и прямой x = 3.