Последовательность многочленов Рn(x), где n>=0, n - целое число, задана рекуррентно: Р0(х) тождественно равен 1, и Рn+1(х) = х^(7(n+1)) - Рn(х) для всех n>=0. Для каждого n>=0 найдите все вещественные корни Рn(х).
Последовательность многочленов Рn(x), где n>=0, n - целое число, задана рекуррентно: Р0(х) тождественно равен 1, и Рn+1(х) = х^(7(n+1)) - Рn(х) для всех n>=0. Для каждого n>=0 найдите все вещественные корни Рn(х).
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала, найдем первые несколько многочленов:
P0(x) = 1
P1(x) = x^7 - 1
P2(x) = x^14 - (x^7 - 1) = x^14 - x^7 + 1
P3(x) = x^21 - (x^14 - x^7 + 1) = x^21 - x^14 + x^7 - 1
И так далее...
Теперь давайте выразим общий вид для многочлена Pn(x):
Pn(x) = x^(7n) - Pn-1(x)
Теперь давайте рассмотрим общую формулу для вычисления общего корня многочлена Pn(x):
Если a^n - b^n = 0, то (a - b)(a^(n-1) + a^(n-2)b + ... + b^(n-1)) = 0
Применяя данную формулу для многочлена Pn(x) = x^(7n) - Pn-1(x), мы можем найти его корни.
Таким образом, для каждого целого n >= 0 корнями многочлена Pn(x) будут все вещественные числа вида x = t^(1/7), где t - целое число.