Для начала выпишем данное выражение в виде функции вида f(n) = (n^3 - 8) / (n + 2).

Для нахождения наибольшего целого значения этой функции при натуральных значениях n, нужно исследовать ее поведение при различных значениях n.

Посмотрим на предел функции f(n) при n -> бесконечности:
lim (n^3 - 8) / (n + 2) = lim (n^3 / n) = lim n^2 = бесконечность

Таким образом, при n -> бесконечности функция f(n) стремится к бесконечности.

Заметим также, что при увеличении n значения n^3 и n+2 также увеличиваются. Однако при увеличении n^3 на 8 значение (n^3 - 8) не меняется, а (n+2) растет. Это означает, что чем больше n, тем ближе значение f(n) к целому числу.

Таким образом, чтобы найти наибольшее целое значение данной функции при натуральных значениях n, нужно взять максимальное значение n, при котором f(n) все еще является целым числом.

Попробуем подставить некоторые значения n:

При n = 1: f(1) = (1^3 - 8) / (1 + 2) = (1 - 8) / 3 = -7/3 = -2,3333

При n = 2: f(2) = (2^3 - 8) / (2 + 2) = (8 - 8) / 4 = 0

При n = 3: f(3) = (3^3 - 8) / (3 + 2) = (27 - 8) / 5 = 19/5 = 3,8

При n = 4: f(4) = (4^3 - 8) / (4 + 2) = (64 - 8) / 6 = 56/6 = 9,3333

Таким образом, наибольшее целое значение f(n) при натуральных значениях n - это 3.

Итак, максимальное целое значение дроби n^3-8/n+2, которое она принимает при натуральных значениях n, равно 3.