Для доказательства параллельности плоскостей ВВ1Е и ДД1О, докажем что их нормали колинеарны.

Пусть векторы n1 = В1С1 x В1В, n2 = D1А1 x D1Д будут нормалями к плоскостям ВВ1Е и ДД1О соответственно.

Так как точка В1 - середина ВС, то вектор В1В1 = 1/2 (В1С1 + В1В), а значит вектор нормали n1 можно записать как: n1 = В1С1 x (1/2 (В1С1 + В1В)) = 1/2 (В1С1 x В1С1 + В1С1 x В1В) = 1/2 (0 + В1С1 x В1В) = 1/2 * (В1С1 x В1В).

Аналогично для вектора n2: n2 = D1А1 x (1/2 (D1А1 + D1Д)) = 1/2 (D1А1 x D1А1 + D1А1 x D1Д) = 1/2 (0 + D1А1 x D1Д) = 1/2 (D1А1 x D1Д).

Так как точка Е - середина АД, то вектор а = В - D = 1/2 * (В1 + D1), а значит вектор В1В = 2а, D1Д = 2а. Подставляем в выражения для n1 и n2:

n1 = 1/2 (В1С1 x 2а) = В1С1 x а
n2 = 1/2 (D1А1 x 2а) = D1А1 x а

Таким образом, получили что векторы n1 и n2 колинеарны (пропорциональны), что означает параллельность плоскостей ВВ1Е и ДД1О.