Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является ромбом, необходимо проверить выполнение всех требуемых свойств этой фигуры:

Стороны четырёхугольника равны между собой:
AB = √((10-4)^2 + (0-2)^2) = √(6^2 + 2^2) = √(36+4) = √40 = 2√10,
BC = √((8-10)^2 + (2-8)^2) = √((-2)^2 + (-6)^2) = √(4 + 36) = √40 = 2√10,
CD = √((2-8)^2 + (4-6)^2) = √((-6)^2 + (-2)^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10,
DA = √((4-2)^2 + (2-0)^2) = √(2^2 + 2^2) = √(4 + 4) = √8.

Диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся пополам:
Вектор AB = (-2; 6), Вектор BC = (2; -6),
Произведение скалярных произведений этих векторов равно 0: AB·BC = (-2)(2) + (6)(-6) = -4 - 36 = -40,
Это значит, что вектора AB и BC перпендикулярны.

VA = (8-2;2-4) = (6; -2), VC = (6-0;8-10) = (6; -2),
Произведение скалярных произведений этих векторов равно 0: VA·VD = 66 - 2(-2) = 36 + 4 = 40,
Это значит, что вектора VA и VC перпендикулярны.

Диагонали деление пополам:
AD = √((8-2)^2 + (2-4)^2) = √36 + 4 = √40 = 2√10,
BC = √((6-0)^2 + (8-10)^2) = √36 + 4 = √40 = 2√10.

Из вышесказанного следует, что фигура ABCD является ромбом, так как все четыре стороны равны между собой, а диагонали перпендикулярны и делятся пополам.