Пусть у нас есть треугольник ABC со сторонами a, b, c и углами α, β, γ.

По теореме косинусов, мы знаем следующие равенства:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos$\alpha$ b^2 = a^2 + c^2 - 2accos$\beta$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos$\gamma$

Мы можем выразить cos$\alpha$, cos$\beta$ и cos$\gamma$ через стороны треугольника и их углы:
cos$\alpha$ = $b^2+c^2-a^2$ / 2bc
cos$\beta$ = $a^2+c^2-b^2$ / 2ac
cos$\gamma$ = $a^2+b^2-c^2$ / 2ab

Подставим эти выражения обратно в равенства из теоремы косинусов:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*$(b^2+c^2-a^2)/2bc$ a^2 = b^2 + c^2 - $b^2+c^2-a^2$ a^2 = a^2

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*$(a^2+c^2-b^2)/2ac$ b^2 = a^2 + c^2 - $a^2+c^2-b^2$ b^2 = b^2

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*$(a^2+b^2-c^2)/2ab$ c^2 = a^2 + b^2 - $a^2+b^2-c^2$ c^2 = c^2

Таким образом, мы показали, что первая теорема косинусов справедлива для треугольника ABC.