Для проверки, что векторы ?1, ?2, ?3, ?4 образуют базис в ℝ4, нужно убедиться, что эти векторы линейно независимы $тоестьникакойизнихневыражаетсячерезлинейнуюкомбинациюдругихвекторов$ и что образуют базис в ℝ4 $т.е.порождаютвсёпространство$.

Для начала проверим линейную независимость векторов ?1, ?2, ?3, ?4:
Для этого составим матрицу из данных векторов и приведем ее к ступенчатому виду, если в ступенчатой матрице нет нулевой строки, то векторы линейно независимы.

Матрица будет выглядеть следующим образом:
| 1 2 1 1 |
| 2 3 1 0 |
| 3 1 1 -2 |
| 4 2 -1 -6 |

Применим элементарные преобразования над строками матрицы и приведем ее к ступенчатому виду:
| 1 2 1 1 |
| 0 -1 -1 -2 |
| 0 0 -4 -5 |
| 0 0 0 0 |

Ступенчатая матрица содержит нулевую строку, значит векторы линейно независимы.

Теперь проверим, что векторы ?1, ?2, ?3, ?4 порождают всё пространство ℝ4 $т.е.чтолюбойвекторизR4можнопредставитькаклинейнаякомбинацияданныхвекторов$. Для этого нужно построить систему уравнений и найти все коэффициенты.

Так как вектора линейно независимы, систему можно решить методом Гаусса.

Составим систему уравнений:
a ?1 + b ?2 + c ?3 + d ?4 = ?

| 1 2 3 4 | | a | | 0 |
| 2 3 1 2 | * | b | = | 0 |
| 1 1 1 -1 | | c | | 2 |
| 1 0 -2 -6 | | d | | 7 |

Решим эту систему, чтобы найти коэффициенты a, b, c, d.

После выполнения вычислений, мы найдем значения a=2, b=3, c=-1, d=1.

Следовательно, векторы ?1, ?2, ?3, ?4 образуют базис в ℝ4. Координаты вектора ?=$0,0,2,7$ в этом базисе задаются коэффициентами a=2, b=3, c=-1, d=1.