Итак, у нас дано:

df = a(x, y)dx + b(x, y)dy (1)

Так как df = (da/dx)dx + (da/dy)dy = (da/dx)dx + (db/dx)dy, где da – производная функции а по х, db – производная функции b по х, то подставляем это в уравнение (1):

(da/dx)dx + (db/dx)dy = a(x, y)dx + b(x, y)dy

Сгруппируем производные по х и по у:

(da/dx - a)dx = (b - db/dx)dy

Теперь берем производную от обеих частей уравнения по у:

d(da/dx - a)/dy = d(b - db/dx)/dy

(d2a/dxdy - da/dy) = (db/dy - d2b/dxdy)

Или, это может быть записано как:

(da/dy)’ = (db/dx)’

Таким образом, мы доказали, что производная функции а по y равна производной функции b по x.