Для нахождения площади треугольника ABC, нужно знать длины сторон и высоту, проведенную из одного из вершин к противоположной стороне.

Мы можем воспользоваться формулой площади треугольника через стороны и высоту:
S = 1/2 AB h,

где h - это высота, проведенная из вершины B к стороне AC.

Для нахождения высоты h, можно воспользоваться формулой площади треугольника через стороны и их опирающиеся на высоту:
S = 1/2 AC h,
h = (2S) / AC = (2△ABC) / AC,
где △ABC - площадь треугольника ABC.

Используя формулу Герона для нахождения площади △ABC:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 12 + AC) / 2 = 22 + AC / 2,
△ABC = sqrt[p (p - AB) (p - BC) (p - AC)],
S = sqrt[22 12 2 (22 + AC / 2)],
S = sqrt[2 12 (22 + AC / 2)],
S = sqrt[288 (22 + AC / 2)],
S = sqrt[6336 + 144 AC].

Далее, чтобы найти S, нам нужно найти значение AC:
AC = sqrt[BC^2 - AB^2] = sqrt(12^2 - 10^2) = sqrt(144 - 100) = sqrt(44) = 2*sqrt(11).

Подставляем найденное значение AC в формулу для S:
S = sqrt[6336 + 144 2 sqrt(11)],
S = sqrt[6336 + 288sqrt(11)],
S = sqrt[6336 + 288 * 3.3166],
S = sqrt[6336 + 953.9712],
S = sqrt[7289.9712],
S ≈ 85.38.

Итак, S ≈ 85.38.