Для нахождения уравнения высоты треугольника необходимо найти уравнения прямых, содержащих стороны треугольника АВ и AC.
Уравнение прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2) можно найти с помощью формулы: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1).

Уравнение прямой AB, проходящей через точки А (4, 1) и В (1, -2):
y - 1 = (-2 - 1) / (1 - 4) (x - 4),
y - 1 = -1 (-3) / (-3) * (x - 4),
y - 1 = x + 4,
y = x + 5.

Уравнение прямой AC, проходящей через точки А (4, 1) и С (-5, 7):
y - 1 = (7 - 1) / (-5 - 4) (x - 4),
y - 1 = 6 / (-9) (x - 4),
y - 1 = -2/3 (x - 4),
y = -2/3 x + 5.

Теперь найдем координаты точки пересечения прямых AB и AC (вершины треугольника):
y = x + 5,
y = -2/3 x + 5.
x + 5 = -2/3 x + 5,
x + 2/3 x = 0,
5/3 x = 0,
x = 0.

Подставляем x = 0 в уравнение прямой AB: y = 0 + 5, y = 5.
Таким образом, вершина В треугольника АВС имеет координаты (0, 5).

Теперь находим уравнение прямой, проходящей через вершину С (-5, 7) и точку В (0, 5):
y - 7 = (5 - 7) / (0 + 5) (x + 5),
y - 7 = -2/5 (x + 5),
y - 7 = -2/5x - 2,
y = -2/5x + 5.

Это и есть уравнение высоты треугольника АВС. Теперь найдем длину высоты, которая равна расстоянию между точкой Н и противоположной стороной.
Для этого найдем координаты точки пересечения высоты и стороны ВС.

Уравнение стороны ВС: y = 7.
Подставляем y = 7 в уравнение высоты -2/5x + 5: 7 = -2/5x + 5, -2/5x = 2, x = -5.
Таким образом, координаты точки пересечения высоты и стороны ВС равны (-5, 7).

Зная координаты точек Н (0, 5) и (-5, 7), можно найти длину высоты с помощью формулы расстояния между двумя точками:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),
d = √((-5 - 0)^2 + (7 - 5)^2),
d = √(25 + 4),
d = √29.

Таким образом, уравнение высоты треугольника АВС: y = -2/5x + 5, а ее длина равна √29.