Доказательство:
Пусть точка M - середина отрезка AB. Тогда OM - это высота треугольника ABC, где C - точка пересечения перпендикуляра OM с прямой AB.

Так как OM - это высота, то треугольник OMA и треугольник OMB равнобедренные (по свойству высоты, где высота, проведенная к основанию треугольника, делит его на два равных треугольника).

Значит, ∠OMA = ∠OMB (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Так как ∠OMA = ∠OMB, то треугольники OMA и OMB подобны (у них равны углы при вершине и углы при основании равны).

По свойству подобных треугольников, отношение сторон равных углов равно.

То есть, OA/AM = OB/BM.

Так как M - середина отрезка AB, то AM = MB.

Cледовательно, OA/AM = OB/MB = OA/MB = OB/AM.

Так как OA = OB (так как O - середина отрезка AB), то получаем, что AM = BM.

Осталось заметить, что AK = AM и BK = BM (так как M - середина отрезка), из чего следует, что AK = BK.

Таким образом, мы доказали, что AK = BK.