Задача по геометрии Дан четырехугольник ABCD. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E, продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке F. Докажите, что середины отрезков AC, BD и EF лежат на одной прямой.
Задача по геометрии Дан четырехугольник ABCD. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E, продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке F. Докажите, что середины отрезков AC, BD и EF лежат на одной прямой.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для доказательства этого факта воспользуемся теоремой Чевы.
Обозначим середину отрезка AC как M, отрезка BD как N и отрезка EF как P.
Проведем отрезок MP, который является медианой треугольника ACF, а также отрезок NP, который является медианой треугольника BCD.
По теореме о медиане треугольника, точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2:1, поэтому AM = MC и BN = ND.
Теперь применим теорему Чевы к треугольнику ACD и точкам M, N, P:
AM/AP PF/FC CN/ND = 1
Так как AM = MC и BN = ND, тогда AM/AP = 1, CN/ND = 1, а значит PF/FC = 1.
Это означает, что точка P делит отрезок EF в отношении 1:1, что и требовалось доказать.
Таким образом, середины отрезков AC, BD и EF лежат на одной прямой.