Пусть AB и CD - основания трапеции, BC и AD - боковые стороны, AC - меньшая диагональ, BD - большая диагональ. Поскольку BC перпендикулярна AD, то угол A равен 45°. Также известно, что BD равно 8 см. Обозначим через h высоту трапеции.

Поскольку трапеция ABCD прямоугольная, то BD является гипотенузой прямоугольного треугольника ABD. По теореме Пифагора получаем:
AB² + AD² = BD²
AD = √(BD² - AB²) = √(8² - h²) = √(64 - h²)

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Поскольку угол A равен 45°, а BC перпендикулярна AD, то треугольник ABC является равнобедренным. Значит, AC равна половине большей основания трапеции, т.е. AC = 4 см.

Теперь мы можем найти h, используя теорему Пифагора для треугольника ACD:
AC² + AD² = h²
4² + (64 - h²) = h²
16 + 64 - h² = h²
80 = 2h²
h² = 40
h = √40 = 2√10

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна:
S = (AB + CD)/2 h = (8 + √40)/2 2√10 = (8 + 2√10) * √10 = 8√10 + 20

Ответ: площадь трапеции равна 8√10 + 20.