Задача по геометрии Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что ВС = 6 см, AD = 16 см, а сумма сторон АВ и CD равна 30 см. Найдите отрезок MN, если в каждую из трапеций АМND и MBCN можно вписать окружность.
Задача по геометрии Прямая, параллельная основаниям AD и BC трапеции ABCD, пересекает стороны AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что ВС = 6 см, AD = 16 см, а сумма сторон АВ и CD равна 30 см. Найдите отрезок MN, если в каждую из трапеций АМND и MBCN можно вписать окружность.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим отрезок MN за х. Также обозначим точку пересечения прямой MN с диагональю BD за P.
Так как AB + CD = 30 см, то AB = 30 - CD. Также BC = 6 см, а AD = 16 см.
Так как в трапеции MBCN можно вписать окружность, то MB = CN = х.
Так как прямая MN параллельна сторонам AD и BC, то углы AMP и BNP будут равными, также как и углы ANP и BMP.
Из теоремы касательной к окружности, проведенной внутри треугольника, из точки касания к стороне, касательная к окружности будет перпендикулярна радиусу.
Используя вышесказанное, прямоугольные треугольники AMP и BNP будут подобными, также как и прямоугольные треугольники ANP и BMP.
Следовательно, AM/BN = MP/NP = AP/BP.
Так как треугольник АВР подобен треугольнику NСР, то АР/ВР = АС/СС.
Так как АВP подобен MNP, то АР/BP = AM/MN.
Так как CNP подобен МРВ, то CN/BP = МР/PN.
Из приведенных равенств следует, что АМ/МN = AC/BC
16/(16-x) = (16+6)/(6+x)
16/(16-x) = 22/(6+x)
22(16-x) = 16(6+x)
352 - 22x = 96 + 16x
352 - 96 = 22x + 16x
256 = 38x
x = 256/38
x ≈ 6,74
Итак, отрезок MN ≈ 6,74 см.