Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними. 

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых: AC = A1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1. 

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство:

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

B1C1 = BC, следовательно, △ABC совмещается с △A1B1C, значит, △ABC = △A1B1C1.

Теорема доказана.

ВАЖНО! Первый признак используют при доказательстве второго и третьего признаков равенства треугольников.

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам. 

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых: AC = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1.

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство:

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Если АВ совмещается с А1В1, ВС совмещается с В1С1, то △ABC совмещается с △A1B1C1, значит, △ABC = △A1B1C1.

Теорема доказана.

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, у которых: AC = A1C1, AB = A1B1, CB = C1B1. 

Доказательство:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

AC = A1C1, BC = B1C1, то △A1C1С и △B1C1С — равнобедренные.

∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), значит,

∠A1СB1 = ∠A1C1B1.

AC = A1C1, BC = B1C1. 

∠C = ∠C1, тогда △ABC  = △A1B1C1 (по первому признаку равенства треугольников).

Теорема доказана.

Применение данных теорем зависит от поставленной задачи. Индивидуально к каждому заданию. В основном для того, чтобы доказать равенство треугольников для решения поставленной задачи.