Для нахождения корней уравнения Z^4 + 1 = 0, сначала перепишем его в виде Z^4 = -1.

Теперь найдем корни этого уравнения. Для этого перейдем к тригонометрической форме комплексных чисел:

-1 = e^(iπ + 2πki), где k - любое целое число.

Таким образом, корни уравнения Z^4 + 1 = 0 можно записать в виде:

Z = (-1)^(1/4) = e^(iπ/4 + πki/2), k = 0, 1, 2, 3.

Изобразим корни уравнения на комплексной плоскости. Корни будут лежать на окружности с радиусом 1 и центром в начале координат, так как модуль числа e^(iπ/4) равен 1.

При k = 0: Z = e^(iπ/4) = cos(π/4) + isin(π/4) = 1/sqrt(2) + i1/sqrt(2).При k = 1: Z = e^(iπ/4 + π/2) = cos(π/4 + π/2) + isin(π/4 + π/2) = -1/sqrt(2) + i1/sqrt(2).При k = 2: Z = e^(iπ/4 + π) = cos(π/4 + π) + isin(π/4 + π) = -1/sqrt(2) - i1/sqrt(2).При k = 3: Z = e^(iπ/4 + 3π/2) = cos(π/4 + 3π/2) + isin(π/4 + 3π/2) = 1/sqrt(2) - i*1/sqrt(2).

Таким образом, корни уравнения Z^4 + 1 = 0 на комплексной плоскости будут расположены в вершинах квадрата со стороной длиной 2 и вершинами в точках (±1/sqrt(2), ±1/sqrt(2)).