а) Для нахождения модуля вектора а нужно сложить компоненты этого вектора в квадрате и извлечь из суммы квадратный корень. То есть |a| = √(a_1² + a_2² + a_3²), где a_1, a_2, a_3 - компоненты вектора а.

Для данного вектора а = -7AC + 5AB:
a = -7(4-3, 2-4, -7-1) + 5(5-3, -2-4, 6-1) = -7(1, -2, -8) + 5(2, -6, 5) = (-7, 14, 56) + (10, -30, 25) = (3, -16, 81)
|a| = √(3² + (-16)² + 81²) = √(9 + 256 + 6561) = √6826

б) Скалярное произведение векторов а и b вычисляется по формуле: a·b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 * b_3, где a_1, a_2, a_3 и b_1, b_2, b_3 - компоненты векторов а и b.

Для данных векторов a и b:
a = (3, -16, 81), b = (1, -2, -8)
a·b = 31 + (-16)(-2) + 81*(-8) = 3 + 32 - 648 = -613

в) Проекция вектора с на вектор d вычисляется по формуле: proj_d (c) = ((c·d) / |d|²) * d, где с·d - скалярное произведение векторов c и d, а |d| - модуль вектора d.

Для данных векторов c = (4, 2, -7), d = (4-3, 2-4, -7-1) = (1, -2, -8):
c·d = 41 + 2(-2) + (-7)*(-8) = 4 - 4 + 56 = 56
|d| = √(1² + (-2)² + (-8)²) = √(1 + 4 + 64) = √69

proj_d (c) = (56 / 69) * (1, -2, -8) = (56/69, -112/69, -448/69)