Доказательство теоремы Больцано-Коши основано на принципе связности множества значений функции. Если значение функции меняется непрерывно от одного конца интервала к другому, то все значения между экстремальными значениями тоже принимаются функцией.

При доказательстве теоремы о промежуточных значениях мы используем свойство непрерывности функции на отрезке и предполагаем, что данная функция непрерывна на заданном интервале. Следовательно, если функция непрерывна на интервале [a, b], и f(a) и f(b) имеют противоположные знаки, то существует х такое, что f(x)=0 на интервале (a, b).

Таким образом, доказательство теоремы Больцано-Коши основывается на непрерывности функции на интервале и принципе промежуточных значений, который является следствием свойства непрерывности. Если функция не непрерывна на интервале или не удовлетворяет условиям теоремы, доказательство не будет корректным.

Важно отметить, что доказательство теоремы о промежуточных значениях требует использования других базовых теорем математического анализа, поэтому необходимо иметь логическую последовательность при проведении доказательства.