Для исследования сходимости данного ряда мы можем воспользоваться признаком Даламбера.

Вычислим предел отношения соседних членов ряда:
lim (n → ∞) |((-1)^(n+1) + 3) / (2^(n+2))| / |((-1)^n + 3) / (2^(n+1))|.
lim (n → ∞) |((-1)^(n+1) + 3) / (2^(n+2))| (2^(n+1) / |((-1)^n + 3) / (2^(n+1))|).
lim (n → ∞) |((-1)^(n+1) + 3) / (2^(n+1))|.
После упрощения получаем:
lim (n → ∞) |((-1)^(n+1) + 3) / (2^(n+1))| = lim (n → ∞) |((-1)^n (-1) + 3) / 2| = lim (n → ∞) |1 + 3 / 2| = |5 / 2| = 5 / 2.

Так как предел отношения соседних членов ряда больше 1, то по признаку Даламбера ряд расходится.

Таким образом, исследуемый ряд ((-1)^n+3)/(2^(n+1)) расходится.