Для решения задачи нам нужно знать формулы для нахождения боковой поверхности, площади осевого сечения и объема конуса.

Формула для боковой поверхности конуса:
S = πrl,
где S - площадь боковой поверхности, r - радиус основания конуса, l - образующая (расстояние от вершины конуса до центра основания).

Формула для площади осевого сечения:
S1 = πr^2,
где S1 - площадь осевого сечения.

Формула для объема конуса:
V = (1/3)πr^2h,
где V - объем конуса, h - высота конуса.

Из условия задачи известны S = 15π см^2 и S1 = 12 см^2. Найдем радиус основания и образующую, используя формулы:

S = πrl,
15π = πr√(r^2 + h^2).

S1 = πr^2,
12 = πr^2,
r = √12/π = √12/π.

Теперь мы можем найти объем конуса, используя найденное значение радиуса и высоты:
V = (1/3)πr^2h,
V = (1/3)π(√12/π)^2h = (1/3)π(12/π)h = 4h.

Таким образом, объем конуса составляет 4h см^3.